Espérance mathématique

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire numérique est la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Cette présentation intuitive de l'espérance exposée est la conséquence de la loi des grands nombres : l'espérance, si elle existe, est la limite de la moyenne des résultats au cours de plusieurs expériences, quand leur nombre augmente à l'infini.

Elle se note E(X) et se lit « espérance de X ». C'est la moyenne pondérée des valeurs de la v.a. par la probabilité. De manière plus théorique, l'espérance d'une variable aléatoire est l'intégrale de cette variable selon la mesure de probabilité de l'espace probabilisé de départ.

Si on note f(x) le modèle de densité de probabilité, on obtient E(x) par:

L'espérance est une caractéristique importante d'une loi de probabilité : c'est un indicateur de la position centrale des valeurs. C'est le pendant probabiliste de la moyenne échantillonnale. D'ailleurs, comme mentionné ci-dessus, si on génère un échantillon de valeurs selon une loi de probabilité donné, la moyenne échantillonnale sera proche de l'espérance. De plus, elle s'en approchera de plus en plus avec la taille de l'échantillon. Cette observation nous permet d'approximer l'espérance E(x) d'une v.a. x par une moyenne échantillonnale moy(x).

Une variable aléatoire est dite centrée si son espérance est nulle.

Attention! Il ne faut pas confondre l'espérance avec le moyenne. L'espérance se calcule avec la loi de probabilité liée à la population, alors que la moyenne s'obtient d'un échantillon. Cependant, on peut utiliser une moyenne comme approximation de l'espérance. C'est d'ailleur l'essence même d'un des algorithmes les plus populaires: la méthode de Monte-carlo.

Exemple avec le cas d'un dé à 6 faces

La loi de probabilité (modèle théorique) d'un dé à 6 faces est p(i)=1/6, où i est le numéro de la face. L'espérance mathématique est donc:

E(X) = 1*p(1) + 2*p(2) + 3*p(3) + 4*p(4) + 5*p(5) + 6*p(6) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5

D'un autre coté, si on calcul la moyenne arithmétique de l'échantillon de l'exemple du dé à 6 faces de la présentation sur les probabilités, on trouve:

moy(x) = (1*97 + 2*101 + 3*99 + 4*95 + 5*107 + 6*101)/600 = 3.5283

On constate bien que la moyenne échantillonnale est proche de l'espérance calculée avec la loi de probabilité du modèle théorique. De plus, on sait par expérience que si on augmente la taille de l'échantillon, la probabilité de chacune des valeurs s'approchera de 1/6 et la moyenne s'approchera de 3.5.

Espérance d'une fonction d'une v.a.

Il arrive qu'on s'intéresse plutôt à l'espérance d'une fonction d'une v.a. plutôt qu'à celle de la v.a. elle-même. Par exemple, si on note x le numéro de la face d'un dé standard à 6 faces et qu'on fait un jeu qui rapporte x2 dollars à chaque jet. Combiens seriez-vous prêt à payer pour jouer à ce jeu? Une bonne indication est le gain espéré, c'est-à-dire E(x2), mais comment le calculer?

Il y a un théorème fameux qui s'appelle " Law of the unconscious statistician" et démontre comment la calculer.

Si x est une v.a. dont la densité de probabilité est f(x), on obtient E(g(x)) par:

Ainsi, pour notre petit jeu de dé, on a: g(x)=x2 et E(g(x))=(1+4+9+16+25+36)/6 = 15.17. Il faudrait donc payer moins que ce montant pour espérer faire des gains sur un grand nombre de parties.

Exercice

Considérons un jeu qui rapporte un gain en fonction de la carte qu'on pige d'un paquet standard de 52 cartes. Le jeu donne 5$ si on pige un "coeur", 2$ si on pige un "carreau", 0$ si on pige un "trèfle", mais fait perdre 6$ si on pige un "pique". Quel est le gain espéré? Est-ce une bonne idée d'y jouer?

Remarque: si x est la sorte de carte (coeur, carreau, trèfle ou pique), on ne peut pas calculer l'espérance de x sans d'abord faire un encodage numérique. Cependant, il n'est pas nécessaire de le faire pour calculer l'espérance d'une fonction numérique de x!

Variance mathématique

La variance mathématique d'une variable aléatoire numérique mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance mathématique. Elle se calcule à partir de la notion d'espérance via la formule:

V(X) = E( (X-E(X))2 ).

Comme la variance mathématique est en fait une espérance, on peut l'approximer par la variance échantillonnale s2(x).