La loi de Poisson

La loi de Poisson est un modèle qui donne la probabilité d'observer k événements (k=0,1,2,...), sur une période de temps donnée. Il apparaît dans le contexte d'un processus stochastique qui s'apparente à plusieurs situations réelles: le processus de Poisson.

Processus de Poisson

On considère un événement A qui se répéte dans le temps et respecte les hypothèses suivantes:

  1. l'occurrence sur 2 intervalles de temps différents est indépendante du choix de ces intervalles
  2. le nombre moyen d'occurrences sur une période de temps donnée est λ
  3. la probabilité qu'il y ait plus d'une occurrence dans un petit intervalle est négligable

Typiquement, l'arrivée de clients à une caisse d'un supermarché, l'arrivée de personnes à un ascenseur, ..., sont des situations qui entre dans ce contexte.

La première hypothèse n'est pas toujours facile à vérifier. Par exemple, si on s'intéresse aux bris d'une voiture, il est probable qu'après une réparation, la probabilité de bris de la pièce réparée ait changée. Bien que ceci viole l'hypothèse, on suppose généralement que l'impact est négligable et on accepte l'hypothèse.

Il y a deux façons de traiter la troisième hypothèse: on bien on suppose qu'en pratique on a un petit intervalle de temps de durée fixe et finie, ou celui-ci est infinitésimal.

Modèle avec un intervalle de temps finie

On suppose qu'on peut identifier un petit intervalle de temps de durée finie Δt, où il n'y a que deux possibilités: A se produit ou pas. Dans ce cas, "observer A" est la v.a. d'une expérience de Bernoulli sur Δt.

La probabilité d'observer k événements A sur une période n*Δt est donnée par la loi binômiale de paramètres n, p.

Modèle avec un intervalle de temps infinitésimal

S'il faut un intervalle de temps infinitésimal pour rencontrer la troisième hypothèse. On peut démontrer que la probabilité d'observer k événements (k=0,1,2,...), sur une période de temps donnée est:

f(k) = (λk/k!)e , où λ est le nombre moyen d'événements par unité de temps

Ce modèle est la loi de Poisson de paramètre λ, le nombre moyen d'événement pour la période de temps considérée. Les fonctions de densité et de répartition sont sur Wolfram Alpha: Poisson

Comparaison des deux modèles

Si on fait un choix raisonnable pour l'intervalle Δt, les deux modèles donnent de bon résultats. Cependant, comme on peut généralement se convaincre que deux événements A peuvent se produire presque en même temps, on préfère généralement le loi de Poisson.

Exemple 1: une machine tombe en panne 3 fois par mois. Quelle est la probabilité qu'elle tombe en panne dans la prochaine semaine?

Solution avec la loi binômiale
Posons Δt="un jour", ce qui donne une probabilité 3/30=0.1 à l'expérience de Bernoulli (on suppose qu'un mois dure 30 jours). Dans ce cas, la probabilité d'un événement selon la loi binômiale de paramètres p=0.1 et n=7, est 0.3720
Solution avec la loi de Poisson
L'unité de temps est une semaine et le paramètre est alors λ = (3/4). Selon la loi de Poisson, il y a 0.75*e-0.75 = 0.3543

Exemple 2: il arrive en moyenne 4 clients à l'heure à une caisse d'un magasin. Quelle est la probabilité que 10 clients arrivent dans la prochaine demi-heure?

Solution avec la loi binômiale
Posons Δt="une minute", ce qui donne une probabilité 4/60=1/15 à l'expérience de Bernoulli. Dans ce cas, la probabilité d'observer 10 événements selon la loi binômiale de paramètres p=1/15 et n=30, est 0.00001
Solution avec la loi de Poisson
L'unité de temps est une demi-heure et le paramètre est alors λ = (4/2) = 2. Selon la loi de Poisson, il y a (210/10!)*e-2 = 0.00004