La loi normale

La loi normale est une fonction mathématique exponentielle qui peut servir de modèle pour la densité de probabilité d'une variable aléatoire réelle. Elle dépends de deux paramètres: une valeur centrale μ et une valeur de dispersion σ. On note la loi N(μ,σ). La loi N(0,1) est appelée loi normale standard. Une v.a. x de N(μ,σ), peut toujours être ramenée sur la loi N(0,1) via le changement de variable z=(x-μ)/σ. On dit qu'elle a été standardisée ou normalisée.

Sa symétrie par rapport à la moyenne et le fort regrouppement des valeurs proches de celle-ci, font que ce modèle est approprié pour une v.a. qui oscille autour d'une valeur de référence. Par exemple, la variable "mon poids en kg le 10 octobre 2018".

Les fonctions de densité et de répartition sont sur Wolfram Alpha: Normale

La densité et la répartition sont des fonctions exponentielles, on obtient donc les valeurs via un ordinateur. Par exemple, avec Wolfram Alpha, si x est distribuée selon la loi N(0,1):

En tenant compte du changement de variable de standardisation, on observe que quelquesoit les valeurs de μ et de σ, on a toujours (voir graphe de la densité de probabilité ci-dessous):

En pratique, on approxime μ et σ par la moyenne et l'écart-type d'un échantillon. La probabilité qu'une valeur se trouve entre deux valeurs données correspond à l'aire sous la courbe de densité entre ces valeurs.

La loi normale est omniprésente dans la pratique. Elle a aussi un caractère universel qui lui est conféré par un des plus important théorème de l'inférence statistique: le théorème central limite. Il stipule que la distribution de probabilité de la moyenne échantillonale est une loi normale et ce, quelquesoit la nature de la variable aléatoire. De plus, la loi mormale est un cas limite de plusieurs autre loi de probabilité. Par exemple, elle est le cas limite de la loi binômiale lorsque le nombre de répétition de l'expérience de Bernoulli croît. Le graphe ci-dessous montre comment la loi normale approxime la loi binômiale pour 28 répétitions.