La loi de Bernoulli

Cette loi très simple modélise les probabilités dans le contexte où il n'y a que deux issus: pile ou face, vrai ou faux, oui ou non, succès ou échec, etc.

Soit K={a,b} l'ensemble des deux seules valeurs possibles d'une v.a. x, alors la loi de Bernoulli affecte la probabilité théorique p∈[0,1] à l'éventualité a, et (1-p) à b.:

C'est la loi théorique usuelle lorsque qu'il n'y a que deux issus, comme la lancé d'une pièece de monnaie.

Les graphes de ces fonctions sur Wolfram Alpha: Bernoulli

La loi binômiale

Cette modélise les probabilités d'avoir k succès lors de n répétition d'une expérience de Bernoulli. Par exemple, la probabilité d'avoir 3 fois pile, lors de 10 jets d'une pièce de monnaie.

Les fonctions de densité et de répartition sont sur Wolfram Alpha: Binomial

Pour mieux comprendre la structure de cette loi, nous allons considérer un exemple: le nombre de faces pour 20 jets d'une pièce de monnaie

On s'intéresse au nombre de faces apparaissant lorsqu'on lance une pièce de monnaie 20 fois. Chaque lancé est une expérience de Bernouilli avec une probabilité de succès de 50%. La loi théorique pour le nombre de succèes lors de 20 lancée est une loi binomiale. Le diagramme ci-dessous montre 2 choix possible pour la loi de probabilité qui nous intéresse: la loi binomiale avec les paramètres 20 et 0.5 en orange, l'histogramme de fréquence d'un échantillon de 10000 répétitions des 20 jets en bleu.

Comme pour le cas du jet d'un dé, on choisit généralement la loi théorique lorsqu'elle s'applique de façon évidente. Cependant, pour un cas réel plus complexe, la tendance est de priviliégier la distribution échantillonale si on a un grand échantillon. Il y a des difficultés à travailler avec un grand échantillon, notamment au niveau de la qualité des données, mais il y a un bénéfice majeur: ce qui apparaît dedans provient de la réalité.