La loi de Bernoulli

Une expérience de Bernoulli est une expérience sujette aux effets du hasard et pour laquelle il n'y a que 2 issues possibles: succès ou échec. Le nom des issues peut varier, vrai ou faux, oui ou non, homme ou femme, pile ou face, etc, mais le concept reste le même. De plus, on convient de codifier le succès par le nombre 1 et l'échec par 0.

La loi de Bernoulli revient simplement à connaître la probabilité p d'une des deux issues. Comme la somme des probabilité doit donner 1, celle de l'autre issue est nécessairement (1-p). C'est donc clairement une loi paramétrique, dont le seul paramètre est la probabilité de succès p.

Ainsi, soit K={0,1} l'ensemble des deux seules valeurs possibles d'une v.a. x, la loi de Bernoulli affecte la probabilité théorique p∈[0,1] à l'éventualité 1 (succès), et (1-p) à 0 (échec):

Si on préfère l'ordre naturel des entiers, on peut réécrire la fonction de répartition: r(0)=1-p, r(1)=1.

L'espérance est E(x) = 1*p+0*(1-p) = p.

Le graphe de ces fonctions sur Wolfram Alpha: Bernoulli

Cette loi est appropriée pour plusieurs contextes simples, comme le lancé d'une pièce de monnaie. Cependant, elle apparaît aussi dans des contextes plus subtils, comme la chance qu'un événement se produise sur un intervalle de temps.

Exemples d'expérience de Bernoulli

Lancer une pièce de monnaie est une expérience de Bernoulli de paramètre p=1/2.

Piger un as d'un jeu de 52 cartes est une expérience de Bernoulli de paramètre p=4/52.

Choisir une boule blanche dans une urne avec 2 boules blanches et 5 noires est une expérience de Bernoulli de paramètre p=2/7.