Complément sur les fonctions

Concepts de fontion et d'application

Dans la littérature, les concepts de fonction et d'application sont souvent confondus. Il est commun, et erroné, de définir une fonction comme étant une application. C'est l'erreur qui est faites à la page 36 du livre de Duntsch et Gediga. Par contre, les définitions de ces concepts que l'on trouve sur Wikipédia (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Correspondance_et_relation), sont correctes. Donnons ici les définitions:

Application
C'est une correspondance (relation) R⊂AxB qui associe une et une seule image à tout élément de A. On peut donc parler sans ambiguité de l'image d'un élément, que l'on note souvent y=R(x), plutôt que xRy ou (x,y)∈R.
Fonction
C'est une correspondance (relation) R⊂AxB qui associe au plus une image à tout élément de A. On peut parler de l'image d'un élément et écrire y=R(x) seulement si x possède une image.

Remarquons qu'une fonction est toujours une application lorsque l'on la restreint à son domaine de définition.

Par exemple, la racine carré est une fonction de ℝ dans ℝ, mais par une application, car elle n'est pas définie pour les nombres réels négatifs. Par contre, c'est une application de ℝ+ dans ℝ.

Ensemble quotient

Soit R, une relation d'équivalence sur un ensemble A, on appel ensemble quotient, noté A/R, l'ensemble des classes d'équivalence. C'est-à-dire que A/R = { xR | x∈A }. Rappelons que les éléments de A/R sont des ensembles d'éléments de A et qu'ils forment une partition de A.

On appelle application canonique, souvent notée π, l'application qui associe à chaque élément de A sa classe dans l'ensemble quotient:
  π : A → A/R : x → xR = { z∈A | (x,z)∈R } = Rx.

Soit f, une application de A dans B, on appelle relation d'équivalence associée à f, noté Rf, la relation sur A définie par (x,z)∈Rf si f(x)=f(z). La vérification est à faire en exercice.

L'intérêt de cette définition est de mener à l'écriture de f sous la forme f = t ο s ο π, que l'on appelle "décomposition canonique":

Rappelons que par convention, une composition de 2 relations SοR, est écrite RοS, lorsqu'il s'agit de fonctions.

Le principal intérêt de cette décomposition est qu'elle transforme une application quelconque en une bijection. En effet, on vérifie facilement que, par construction même:

Exemple: fonction carré

Considérons la fonction f:ℝ→ℝ:x→x², qui est une application non-injective et non-surjective.

L'application canonique associée est π:ℝ→ℝ/Rf:x→{x,-x}.

D'où l'on obtient la bijection associée s:ℝ/Rf→ℝ+:{x,-x}→x².

Exemple: fonction modulo 3

Considérons la fonction f:ℕ→ℕ:x→x%3, qui donne le reste de la division entière par 3. C'est une application non-injective et non-surjective.

L'application canonique associée est π:ℕ→ℕ/Rf:x→xRf ={y∈ℕ | x%3 = y%3}.

Puisqu'il n'y a que 3 classes, on peut facilement les expliciter et leur donner un nom, c0, c1 et c3. Remarquons que les 3 classes forment bien une partition de ℕ:

D'où l'on obtient la bijection associée s:ℕ/Rf→{0,1,2}: