Exercices sur les relations et les fonctions - À remettre le premier décembre

1. Exercices du livre de Duntsch et Gediga: Tous les exercices du chapitre 2 du livre, il y en a 9.

2. Soit R une relation sur un ensemble A. Est-ce que RοR⊂R est toujours vrai? Si oui, démontrer.

3. Considérons le diagramme ci-contre comme représentant une relation d'ordre, on suppose donc a priori que la relation est réflexive.

  1. est-ce que 6 est avant 5 dans cet ordre?
  2. comment 2 se compare-t-il a 3 selon cet ordre?
  3. quel sont les éléments qui sont avant 7 dans cet ordre?

4. Soit R⊂AxB et X,Y⊂A.

  1. montrer que R|X∪Y = R|X ∪ R|Y
  2. montrer que R|X∩Y ⊂ R|X ∩ R|Y

Note: Soit R une relation de A dans B et X⊂A, on définit R|X={(a,b)∈R | a∈X}

5. Utiliser les définitions en page 9 de la seconde référence du cours, soit Correspondance et relation - Wikipédia, pour donner des exemples de relations dont le domaine est infini:

  1. 5 exemples de fonctions qui ne sont pas des applications.
  2. 5 exemples d'applications.
  3. pour chacune des 10 relations (en a et b), dire si elle est injective, surjective, bijective, avec les justifications appropriées.

6. Soit A l'ensemble des étudiants inscrits à l'UQAC cet automne, B l'ensemble des cours offerts à l'UQAC cet automne et C l'ensemble des enseignants de l'UQAC. On considère les 2 correspondances (relations) suivantes:

  1. R = {(x,y)∈AxB | x est inscrit au cours y}
  2. S = {(y,z)∈BxC | y est donné par l'enseignant z}
  1. R est-elle injective, surjective, fonctionnelle? Justifier.
  2. S est-elle injective, surjective, fonctionnelle? Justifier.
  3. décrire la correspondance RοS.
  4. montrer que SοS-1 est une relation d'équivalence et décrire la partition induite.

7. Considérons la relation sur les entiers relatifs ℤ induite par la règle x²+y²=25. Cette relation est-elle (expliciter l'ensemble des couples de la relation en extension):

  1. réflexive?
  2. symétrique?
  3. transitive?
  4. irréflexive?
  5. antisymétrique?
  6. fonctionnelle?
  7. bijective?

8. Soient f:A→B et g:B→C deux fonctions, montrer que

  1. si f et g sont injectives, alors la composition est aussi injective.
  2. si f et g sont surjectives, alors la composition est aussi surjective.
  3. si f et g sont bijectives, alors la composition est aussi bijective.

9. Trouver 3 bijections de A=]-π/2, π/2[→ℝ.