Exercices sur la théorie des ensembles

1. Soit X = { 1,2,3,4 }, Y = { 0,2,4,6 }, expliciter les ensembles suivants:

  1. X ∪ Y
  2. X ∩ Y
  3. X - Y
  4. Y - X
  5. ℘(X)

2. Soit X = { a,b,c }, Y = { 1,2 },

  1. expliciter tous les sous-ensembles de X
  2. expliciter tous les éléments de X x Y

3. Soit A = { numéros des faces d'un dé normal à 6 faces }, B = { numéros des faces d'un dé à 4 faces },

  1. caractériser A et B en tant que sous-ensembles des entiers naturels (i.e. énumérer les entiers)
  2. calculer B\A ainsi que A\B
  3. calculer le complément de B par rapport à A
  4. calculer l'ensemble ℘(B) de toutes les parties de B
  5. quel est la cardinalité de ℘(B)
  6. expliciter l'ensemble AxB
  7. est-ce que AxB=BxA? Justifier

4. Soit A et B les ensembles du numéro précédent. Posons C = { x ∈ A | x est un nombre impair },

  1. caractériser C en tant que sous-ensemble des entiers naturels (i.e. énumérer les entiers)
  2. calculer B\C ainsi que A\C
  3. calculer le complément de C par rapport à A
  4. expliciter B∪C et B∩C
  5. calculer le complément de B∩C par rapport à A

5. Soit X = { n³ + 3n² +3n | n ∈ ℕ et n ≥ 0 } et Y = { n³ - 1 | n ∈ ℕ et n > 0 }. Prouver que X = Y.

6. Soit A = { {∅},{{∅}} }. Trouver ℘(A).

7. Soit C un cerle de rayon r>0 et soit D l'ensemble de tous les segments de droite qui sont des diamètres de C. Expliciter l'ensemble ∩D.

8. Expliquer en une-demie page la contribution du mathématicien Russell à la théorie des ensembles.

9. Expliquer en une-demie page la contribution du mathématicien Zermelo à la théorie des ensembles.

10. Au cours d'une enquête auprès de 120 personnes, on a noté que 39 jouaient au golf, 42 aux quilles, 25 jouaient au curling, 13 jouaient au golf et aux quilles, 11 aux quilles et au curling, 15 au golf et au curling et 4 s'adonnaient aux 3 sports.

  1. combient ne jouent à aucun de ces sports?
  2. combien ne jouent qu'au golf seulement?

Aide: utiliser 3 ensembles G={ x | x joue au golf }, Q={ x | x joue au quilles }, C={ x | x joue au curling } et remplir le diagramme de Venn ci-dessous.

11. Caractériser en quelques mots l'univers U apparaissant à la question 10.

12. Exercices du livre de Duntsch et Gediga: