Probabilité: espérance mathématique

Matériel à lire:

Espérance mathématique

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle est la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Elle se note E(X) et se lit « espérance de X ».

Elle correspond à une moyenne pondérée des valeurs que peut prendre cette variable. Dans le cas où celle-ci prend un nombre fini de valeurs, il s'agit d'une moyenne pondérée par les probabilités d'apparition de chaque valeur. Dans le cas où la variable aléatoire possède une densité de probabilité, l'espérance est la moyenne des valeurs pondérées par cette densité. De manière plus théorique, l'espérance d'une variable aléatoire est l'intégrale de cette variable selon la mesure de probabilité de l'espace probabilisé de départ.

La présentation intuitive de l'espérance exposée ci-dessus est la conséquence de la loi des grands nombres : l'espérance, si elle existe, est la limite de la moyenne des résultats au cours de plusieurs expériences, quand leur nombre augmente à l'infini.

L'espérance est une caractéristique importante d'une loi de probabilité : c'est un indicateur de la position centrale des valeurs. C'est le pendant probabiliste de la moyenne échantillonnale. D'ailleurs, comme mentionné ci-dessus, si on génère un échantillon de valeurs selon une loi de probabilité donné, la moyenne échantillonnale sera proche de l'espérance. De plus, elle s'en approchera de plus en plus avec la taille de l'échantillon.

Une variable aléatoire est dite centrée si son espérance est nulle. Elle forme, avec la variance, indicateur de dispersion, l'ensemble des indicateurs qui sont presque systématiquement donnés quand est présentée une variable aléatoire.

Exemple avec le cas d'un dé à 6 faces

La loi de probabilité (modèle théorique) d'un dé à 6 faces est p(i)=1/6, où i est le numéro de la face. L'espérance mathématique est donc:

E(X) = 1*p(1) + 2*p(2) + 3*p(3) + 4*p(4) + 5*p(5) + 6*p(6) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5

D'un autre coté, si on calcul la moyenne arithmétique de l'échantillon de l'exemple du dé à 6 faces du la présentation sur les probabilités, on trouve:

moy(x) = (1*97 + 2*101 + 3*99 + 4*95 + 5*107 + 6*101)/600 = 3.5283

On constate bien que la moyenne échantillonnale est proche de l'espérance calculé avec la loi de probabilité du modèle théorique.

Variance mathématique

La variance mathématique d'une variable aléatoire réelle mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance mathématique. Elle se calcul à partir de la notion d'espérance via la formule:

V(X) = E((X-E(X)2)

Approximation via la statistique descriptive

En pratique, on approxime l'espérance E(x) par une moyenne échantillonnale moy(x) et la variance V(x) par la variance échantillonnale s2(x).