L'arbre de décision: une application de l'arbre de probabilité et de l'espérance mathématique

Nous avons vu comment combiner les règles de base du calcul de probabilité afin de calculer les chances de succès d'événements via un arbre de probabilité. Nous allons combiner cette puissante méthode de calcul avec la notion d'espérance mathématique afin de quantifier les profits (ou coûts) espérés d'une arborescence d'événements.

Rappelons que l'espérance est la somme des valeurs possibles pondérées par leur probabilité d'occurance. Ça nous donne une valeur moyenne espérée sur un grand nombre de répétitions de l'expérience.

Arbre de décision

L'arbre de décision est une méthode de calcul probabiliste pour déterminer le gain espéré lors d'une décision ayant plusieurs issues possibles. C'est une combinaison de l'arbre de probabilité et de la notion d'espérance mathématique.

Les étapes décisionnelles sont:

  1. énumérer les choix possibles de décision de premier niveau
  2. énumérer toutes les conséquences des choix de premier niveau
  3. quantifier les conséquences (normalement en $)
  4. quantifier les probabilités de chacune des conséquences
  5. calculer l'espérance mathématique de chaque branche décisionnelle de premier niveau

Nous allons introduire cette méthode via des exemples concrets.

Exemples:

  1. Il coûte 10$ pour jouer à un jeu "lancé un dé" qui rapporte selon le barême: 1 donne 0$, 2,3,4 donne 8$, 5,6 donne 19$. Si vous jouez un grand nombre de fois, combiens prévoyez-vous gagner? Solution: (1/3)*9$+(1/2)*-2$+(1/6)*-10$ = (1/3)$.
  2. Considérons une entreprise qui n'arrive plus à satisfaire à la demande pour ses produits. La direction se demande s'il est préférable d'agrandir l'usine actuelle (option A) ou d'en construire une nouvelle (option N). On estime que le ROI dans le cas A est de 90$ par unité, alors qu'il est de 100$ par unité dans le cas N. Cependant, si notre estimation des ventes est trop optimiste, on pourrait avoir des pertes de 10$ et 30$ pour les options A et N respectivement. Dans l'environnement économique actuel, on évalue à 50% les chances que notre estimation des ventes futures soit correcte. Selon ces hypothèses, il semble préférable d'agrandir l'usine actuelle.
  3. Reprenons le contexte de l'exemple ci-dessus, mais supposons qu'un nouvelle innovation technologique aurait 40% de chance de réduire les coûts de 25$ si on atteint les cibles (succès). Dans ce cas, on ajoute un niveau dans la branche N lorsqu'il s'agit d'un succès. L'espérance de l'option N devient: 0.5*(-30) + 0.5*[ 0.4*125 + 0.6*100 ] = 40$. Ce qui place cette option à parité avec l'agrandissement.
  4. Arbre de décisions en médiation
  5. Vous gagnez un coucours dans lequel on vous donne la possibilité de prendre 100$ (A), de faire 0$ ou 500$ selon une roulette (R) ou de prendre une enveloppe (E). Il y a 3 enveloppes qui contiennent 20$, 120$ et 300$. Une observation de la roulette vous permet d'estimer vos chances à 13%. Quel est le choix que est le plus alléchant? C'est l'enveloppe car les espérances sont:
    1. 1.0*100$ = 100$
    2. 0.13*500$ = 65$
    3. 0.33*20$+0.33*120$+0.33*300$ = 146.66$
  6. Vous offrez un service à 5200 membres qui paie chacun 1000$ par an. L'opération annuelle du service vous coûte en moyenne 100$ par membre. Vous avez l'opportunité d'étendre le service. Vous estimez qu'il y a 40% de chance d'accroître le nombre de membres à 6000 et 60% à 6800. De plus, le coût annuel par membre passera de 100$ à 120$ ou à 180$. Est-ce réellement avantageux d'entreprendre l'expansion? Justifier avec un arbre de décision.